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論文資訊
- 類型：工作論文
- 編號：工作論文 #378
- 日期：2026-03-18
摘要
在適當的範數和寬度約束下，玻爾茲曼-吉布斯 (BG) 熵 SBG = −k R dx p(x) ln p(x) 的極值化產生高斯分佈 pG(x) ∝ e− x2 。此外，標準 Fokker-Planck (FP) 方程式（與加性雜訊的 Langevin 方程式相關）以及中心極限定理吸引子的基本解都是高斯解。具有此類特徵的最簡單的隨機模型是 N → Infini 獨立的二元隨機變量，這首先由 de Moivre 和 Laplace 證明。這些眾所周知的結果在數學上奠定了 BG 統計力學的基礎。強相關隨機變數會發生什麼事？這種相關性常出現在物理情況中，其特徵通常是 q-高斯分佈，pq(x) ∝ [1 − (1 − q) x2]1/(1−q) [p1(x) = pG(x)]。如果我們允許 Langevin 方程式包含乘性噪聲，或者 FP 方程式是非線性的，則通常會出現這種情況。尺度不變性的普遍特性使得能夠對相關性和非高斯分佈之間的關係進行系統性分析。然而，缺乏產生 q-高斯 (q 6= 1) 的廣義隨機模型。這是透過使用 Laplace-de Finetti 表示來實現的，該表示體現了可互換的 N 個隨機變數的嚴格尺度不變性。我們也證明了嚴格的尺度不變性和 q-高斯性要求相關的廣泛熵為 BG 的熵。