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論文資訊
- 類型：工作論文
- 編號：工作論文 #50
- 日期：2026-03-18
摘要
有限維度中的非線性可以透過將其投影到無限維度來線性化。不幸的是，由於運算符不能對角化，因此人們使用的線性運算符技術通常會失敗。這個咒語是眾所周知的。對於有限維線性算子也會發生這種情況。我們透過開發一種亞純函數微積分來規避它，該微積分可以根據其特徵值和投影算子來分解不可對角化線性算子的任意函數。它將正規算子的譜定理擴展到更廣泛的類別，包括函數的極點和零點與算子譜重合的情況。透過允許直接操縱非常態和不可對角化算子的個體特徵空間，新理論避免了虛假散度。因此，它在與不可對角化動力學相關的多個物理領域中產生了新穎的見解和封閉式表達式，包括記憶隨機過程、開放非酉量子系統和遠非平衡熱力學。技術貢獻包括首次全面處理營運商的任意權力。特別是，我們證明了以前僅以公理方式定義的 Drazin 逆可以導出為亞純泛函微積分中奇異算子的負一冪，並且我們給出了構造它的通用方法。我們提供了構造投影算子的新公式，並描述了投影算子、特徵向量和廣義特徵向量之間的關係。為了說明其應用，我們探討了幾個相當不同的例子。首先，我們分析離散和連續時間內的隨機轉移算子。其次，我們證明非對角化性可以是隨機過程的一個強大的、內在的特徵，甚至可以透過簡單的計數來誘導。因此，我們直接推導了泊松過程的分佈，並指出非對角化性是它和廣泛的隱含半馬可夫過程所固有的。第三，我們證明了 Drazin 逆在隨機熱力學中自然出現，並且應用亞純泛函微積分為關鍵熱力學可觀測量的動力學提供了閉式解。第四，我們證明許多記憶過程的功率譜與白噪音無法區分，儘管它們是高度組織的。然而，只要功率譜不平凡，它就是過程隱藏線性動態的頻譜和投影算子的直接簽名，其中不可對角化的子空間產生質量上不同的線輪廓。最後，我們將混沌動力系統與 Ruelle--Frobenius--Perron 和 Koopman 算子連結起來。