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論文資訊
- 類型：工作論文
- 編號：工作論文 #334
- 日期：2026-03-18
摘要
自從 Jerrum、Sinclair 和 Vigoda 的著名工作以來，我們知道透過使用快速混合馬可夫鏈對二分圖的完美匹配進行取樣，可以在隨機多項式時間內近似 0-1 矩陣的永久矩陣。另一部分文獻探討了替代代數多項式時間近似方案的可能性。這些方案的工作原理是用代數 A 的隨機元素取代每個 1，並考慮所得矩陣的行列式。在 A 不可交換的情況下，可以透過多種方式定義該行列式。我們證明，對於基於傳統行列式的估計量，當 A 是 d×d 矩陣的代數時，二階矩與一階矩平方的臨界比（以及因此我們需要獲得永久常數的良好估計所需的試驗次數）為 (1 + O(1/d))^n。這些結果可以擴展到群代數和一般的半簡單代數。我們也研究了 Barvinok 的對稱行列式，顯示當 d 夠大時，所得估計量的變異數很小。然而，如果 d 是常數——這是已知有效演算法的唯一情況——我們表明臨界比率超過 2^n / n^O(d)。因此，我們的結果並沒有為永久提供新的多項式時間近似方案。事實上，他們認為用代數方法來逼近恆值面臨重大障礙。我們使用圖表技術來獲得這些結果，其中我們將矩陣乘積表示為張量乘積的收縮。當這些矩陣是隨機的時，無論是哈爾測度或高斯測度，我們都可以根據適當隨機排列的循環結構來評估這些乘積的跡。在對稱情況下，我們的估計是透過與對稱群的特徵理論的連結得出的。