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論文資訊
- 類型：工作論文
- 編號：工作論文 #516
- 日期：2026-03-18
摘要
我們對基本一維元胞自動機 (CA) 的動力學進行數值研究，其中單元 i 的二元狀態 σi (t) ∈ {0, 1} 不僅取決於時間 t − 1 時其局部鄰域的狀態，還取決於其自身過去狀態 σi (t − 2)、σi (t − 3)、...、σi (t − τ)。我們假設該記憶的權重與 τ -α 成比例衰減，其中 α > 0（極限 α → ∞ 對應於通常的 CA）。由於記憶函數對於 α > 1 是可求和的，而對於 0 ≤ α ≤ 1 是不可求和的，因此我們預期 α = 1 附近的動態行為會發生顯著變化。這正是我們的模擬所顯示的，特別是對於初始接近軌跡的漢明距離 H 的時間演化。我們通常預期漸近行為 H(t) ∝ t 1/(1-q) ，其中 q 是與非廣延統計力學相關的熵指數。在所有情況下，函數 q(α) 在 α ≈ 1 處表現出明顯的變化。我們關注 II 類規則 61、99 和 111。對於規則 61，q = 0（對於 0 ≤ α ≤ αc ≈ 1.3），q < 0 對於 α > αc，而規則 111 發現相反的行為。對於規則 99，長期記憶對損害的蔓延相當劇烈。這些事實表明，豐富的動態與本地查找規則和記憶體範圍的相互作用密切相關。不同系統尺寸 N 的有限尺寸標度研究表明，H(t) 的冪律範圍通常發散 ∝ Nz，其中 0 ≤ z ≤ 1。對其他規則也進行了類似的研究，例如著名的「通用計算機」規則 110。